Toward higher-order and many-symbol infinite time Turing machines
Vers des machines de Turing en temps infini d’ordre supérieur et à plusieurs symboles
Résumé
This thesis studies infinite time Turing machines (ITTM) as developed by Hamkins and Lewis at the beginning of the years 2000. In particular, it aims at providing new generalizations of this model of infinite computation, or the tools and the results to develop those.A notable aspect of this model of infinite computation is that it is simple enough when compared to the usual finite model of Turing machines: an ITTM has the same structure as a three tapes Turing machine, it computes through the ordinals and at any successor stage, the next snapshot of the machine is a function of its machine code and the actual snapshot, as done in the classical setting. The only difference being that, at limit, tape heads are back on their first cells, the state is set to some distinguished limit state and the value of any cell is set to the limit superior of its previous values. While the choices for the heads and the states at limit stages may appear somewhat canonical, the principal justification for the rule of the limsup is actually a corroboration: with this rule, Hamkins and Lewis showed how this produces a robust, powerful and well-behaved model of infinite computation.So this work was focused on devising limit rules that would yield more powerful but equally well-behaved models of generalized infinite Turing machines.Most of the proofs done on ITTMs use a universal machine: an ITTM which simulates in parallel all other ITTMs. It happens to be straightforward to define such an universal ITTM.But its definition is only fortuitously straightforward. This construction rests on strong but implicit properties of the limsup rule. Hence, we exhibit a set of four properties satisfied by the limsup rule that allow us to define the more general concept of simulational machine: a model of infinite machines whose machines compute with a limit rule that satisfy this set of four properties, for which we prove that there exists a universal machine. The first main result is that the machines in this class of infinite machines satisfy (with two other constraints) an important equality satisfied by the usual ITTM, relating the time of computations and the ordinals that are writable.The second main result builds on the previous result. An immediate corollary is the following: there exists only two 2-symbol simulational and "well-behaved" model of ITTM; namely the limsup ITTM and the liminf ITTM. So, to produce higher-order machines, we need to consider n-symbols machine. And this is the second result: we construct a 3-symbol ITTM, strictly more powerful that the previous one and for which we establish the same set-theoretic results that were established for it.
Ce travail traite des machines de Turing infinies (ITTM) telles que développées par Hamkins et Lewis au début des années 2000. Plus particulièrement il s'intéresse à leur généralisation. Un aspect notable de ces machines infinies est que, en comparaison du modèle classique de Turing, celles-ci sont presque aussi simple. Une ITTM a la même structure qu'une machine de Turing à trois rubans. Elle fait des calculs en temps ordinaux et à n'importe quelle étape, l'instantané de la machine permet de calculer, comme dans le modèle classique, l'instantané à l'étape suivant. Le seule différence est aux étapes limites: la tête de lecture est remise au début, la machine est dans un certain état spécial et la valeur de chaque cellule est la limite supérieure de l'historique de ses valeurs précédentes. Si le choix pour la tête de lecture et pour l'état limite sont d'une façon logique, le choix de la valeur limite pour les cellules peut apparaître arbitraire. Pourquoi pas une liminf ? Ou encore quelque chose de plus compliqué ? Finalement, la justification de cette règle limite est une corroboration : avec cette règle, Hamkins et Lewis ont montré que le modèle de machines qu'ils ont développé est robuste, puissant et se comporte bien.L'objectif est de proposer des règles limites différentes de la règle limsup produisant donc des généralisations de ce modèle de machines.%La plupart de preuves portant sur les ITTMs utilise une « machine universelle », c'est-à-dire une machine qui simule en parallèle toutes les autres ITTMs. Une une telle machine est en fait simple à définir ; mais cette simplicité est fortuite : il pourrait y avoir de nombreuses difficultés qui sont évitées grâce à plusieurs propriétés implicite des ITTMs. Nous avons ainsi mis en lumière un ensemble de quatre propriétés, satisfaites par la règle de limsup. Elles nous permettent de définir un concept plus général de machine simulationnelles : des modèles de machines dont la règle limite satisfait ces propriétés et pour lesquelles on prouve qu'il existe une machine universelle. Le premier résultat de ce travail est un théorème qui établit, pour ces modèles de machines auxquelles deux contraintes sont rajoutées, une égalité entre les temps de calcul et les ordinaux qui peuvent être écrits.Le second résultat principal se base sur ce premier résultat. Un corollaire immédiat de la première partie est le suivant : il n'existe que deux modèles de machines simulationnelles (et non pathologiques), à savoir les ITTM avec la règle limsup et leur symétrique avec la règle liminf. Ainsi, pour produire des machines infinies d'ordre supérieur, il faut construire des machines à n symboles. C'est le second résultat : nous avons construit un modèle de machines simulationnelles à 3 symboles, strictement plus puissant que celui des ITTMs et pour lequel nous parvenons à établir les principaux résultats mettant en relation les ITTMs avec la théorie des ensembles.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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