Generic vanishing for holonomic D-modules : a study via Cartier duality
Annulation générique pour les D-modules holonomes : une étude via la dualité de Cartier
Résumé
Motivated by questions in analytic number theory and complex geometry, this thesis studies a generic vanishing theorem for the de Rham cohomology of holonomic D-modules on a commutative connected algebraic group G.We start by constructing an algebraic space G^flat that parametrizes multiplicative line bundles with flat connection on G, referred to as character sheaves. For abelian varieties, this provides a new construction of Simpson's moduli space of line bundles with integrable connection. Importantly, our construction also applies to non-proper groups G. The novelty of our approach lies in the systematic use of a stacky incarnation of Cartier duality, leading to the study of various extensions of abelian sheaves, which may be of independent interest.Examining the geometry of the moduli space G^flat, we identify a class of subspaces known as linear subspaces. Then, the generic vanishing theorem states that, for each holonomic D-module, there exists a finite union of translates of these linear subspaces such that the de Rham cohomology of twists by character sheaves in its complement is concentrated in degree zero.Using the generic vanishing theorem, we deduce that a certain quotient category of holonomic D-modules is tannakian. In other words, each such D-module amounts to a representation of some algebraic group. Notably, for unipotent groups or tori, we prove a comparison result identifying these algebraic groups respectively to a differential or difference Galois groups.
Motivée par des questions en théorie analytique des nombres et en géométrie complexe, cette thèse étudie un théorème d'annulation générique pour la cohomologie de de Rham des D-modules holonomes sur un groupe algébrique commutatif connexe G.Nous commençons par construire un espace algébrique G^flat qui paramétrise les fibrés en droites multiplicatifs avec connexion plate sur G, appelés faisceaux caractères. Pour les variétés abéliennes, cela fournit une nouvelle construction de l'espace de modules de Simpson des fibrés en droites avec connexion intégrable. Il est important de noter que notre construction s'applique également aux groupes G non propres. La nouveauté de notre approche réside dans l'utilisation systématique d'une incarnation « champêtre » de la dualité de Cartier, conduisant à l'étude de diverses extensions de faisceaux abéliens, qui peuvent être d'intérêt indépendant.En examinant la géométrie de l'espace de modules G^flat, nous identifions une classe de sous-espaces appelés sous-espaces linéaires. Ensuite, le théorème d'annulation générique affirme que, pour chaque D-module holonome, il existe une union finie de translatés de ces sous-espaces linéaires telle que la cohomologie de de Rham des twists par des faisceaux caractères dans son complément soit concentrée en degré zéro.En utilisant le théorème d'annulation générique, nous déduisons qu'une certaine catégorie quotient des D-modules holonomes est tannakienne. En d'autres termes, chaque D-module de cette catégorie équivaut à une représentation d'un groupe algébrique. Notamment, pour les groupes unipotents ou les tores, nous prouvons un résultat de comparaison identifiant ces groupes algébriques respectivement à des groupes de Galois différentiels ou aux différences.
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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