Tropical aspects of linear programming - École polytechnique Access content directly
Theses Year : 2014

Tropical aspects of linear programming

Aspects tropicaux de la programmation linéaire

Abstract

In this thesis, we present new results on the complexity of classical linear programming on the one hand, and of tropical linear programming and mean payoff games on the other hand. Our contributions lie in the study of the interplay between these two problems provided by the dequantization process. This process tranforms classical linear programs into linear programs over tropical semirings, such as the $\R \cup\{ -\infty\}$ endowed with $\max$ as addition and $+$ as muliplication. Concerning classical linear programming, our first contribution is a tropicalization of the simplex method. More precisely, we describe an implementation of the simplex method that, under genericity conditions, solves a linear program over an ordered field. Our implementation uses only the restricted information provided by the valuation map, which corresponds to the ``orders of magnitude'' of the input. Using this approach, we exhibit a class of classical linear programs over the real numbers on which the simplex method, with any pivoting rule, performs a number of iterations which is polynomial in the input size of the problem. In particular, this implies that the corresponding polyhedra have a diameter which is polynomial in the input size. Our second contribution concerns interior point methods for classical linear programming. We disprove the continuous analog of the Hirsch conjecture proposed by Deza, Terlaky and Zinchenko, by constructing a family of linear programs with $3r + 4$ inequalities in dimension $2r + 2$ where the central path has a total curvature which is exponential in $r$. We also point out suprising features of the tropicalization of the central path. For example it has a purely geometric description, while the classical central path depends on the algebraic representation of a linear program. Moreover, the tropical central path may lie on the boundary of the tropicalization of the feasible set, and may even coincide with a path of the tropical simplex method. Concerning tropical linear programming and mean payoff games, our main result is a new procedure to solve these problems based on the tropicalization of the simplex method. The latter readily applies to tropical linear programs satisfying genericity conditions. In order to solve arbitrary problems, we devise a new perturbation scheme. Our key tool is to use tropical semirings based on additive groups of vectors ordered lexicographically. Then, we transfer complexity results from classical to tropical linear programming. We show that the existence of a polynomial-time pivoting rule for the classical simplex method, satisfying additional assumptions, would provide a polynomial algorithm for tropical linear programming and thus for mean payoff games. By transferring the analysis of the shadow-vertex rule of Adler, Karp and Shamir, we also obtain the first algorithm that solves mean payoff games in polynomial time on average, assuming the distribution of the games satisfies a symmetry property. We establish tropical counterparts of the notions of basic points and edges of a polyhedron. This yields a geometric interpretation of the tropicalization of the simplex method. As in the classical case, the tropical algorithm pivots on the graph of an arrangement of hyperplanes associated to a tropical polyhedron. This interpretation is based on a geometric connection between the cells of an arrangement of classical hyperplanes and their tropicalization. Building up on this geometric interpretation, we present algorithmic refinements of the tropical pivoting operation. We show that pivoting along an edge of a tropical polyhedron defined by $m$ inequalities in dimension $n$ can be done in time $O(n(m+n))$, a complexity similar to the classical pivoting operation. We also show that the computation of reduced costs can be done tropically in time $O(n(m+n))$.
Cette thèse présente de nouveaux résultats de complexité concernant d'un côté la programmation linéaire classique, et de l'autre la programmation linéaire tropicale, cette dernière étant reliée aux jeux répétés. Les contributions proviennent de l'étude du processus de déquantisation qui relie ces deux problèmes. La déquantisation transforme les programmes linéaires classiques en programmes linéaires sur des semi-anneaux tropicaux, comme l'ensemble $\R \cup \{ - \infty \}$ muni de $\max$ en tant qu'addition, et de $+$ en tant que multiplication. Concernant la complexité de la programmation linéaire, notre première contribution est la tropicalisation de la méthode du simplexe. Plus précisément, nous décrivons une implémentation de la méthode du simplexe qui, sous des conditions de généricité, résoud un programme linéaire sur un corps ordonné. Cette implémentation utilise seulement l'information partielle donnée par la valuation, ce qui correspond aux ``ordres de grandeur'' des coefficients du problème. Cette approche permet de construire une classe de programmes linéaires réels sur lesquels la méthode du simplexe termine en un nombre d'itérations qui est polynomial en la taille de l'encodage binaire du problème, et ce indépendamment du choix de la régle de pivotage. Notre deuxième contribution concerne les méthodes de points intérieurs pour la programmation linéaire classique. Nous réfutons l'analogue continu de la conjecture de Hirsch proposé par Deza, Terlaky et Zinchenko, en construisant une famille de programmes linéaires décrits par $3r+4$ inégalités sur $2r+2$ variables pour lesquels le chemin central a une courbure totale qui est exponentielle en $r$. La tropicalisation du chemin central présente des propriétés inattendues. Par exemple, le chemin central tropical peut être décrit de manière purement géométrique, alors que de manière classique le chemin central dépend de la représentation des contraintes. De plus, le chemin central tropical peut rencontrer la frontière de la tropicalisation de l'ensemble réalisable, et peut même co\"incider avec un chemin suivi par la méthode du simplexe tropical. Concernant la programmation linéaire tropicale et les jeux répétés, notre résultat principal est une nouvelle méthode pour résoudre ces problèmes, basée sur la tropicalisation de la méthode du simplexe. Cette dernière résoud directement les programmes linéaires tropicaux satisfaisant des conditions de généricités. Afin de résoudre les problèmes ne satisfaisant pas ces conditions, une technique de perturbation est utilisée. L'idée principale est d'utiliser des semi-anneaux tropicaux basés sur des groupes de vecteurs ordonnées lexicographiquement. Nous transférons des résultats de complexité de la programmation linéaire classique vers la programmation linéaire tropicale. Nous montrons que l'existence d'une règle de pivotage polynomiale pour la méthode du simplexe classique fournirai un algorithme polynomial pour la programmation linéaire tropicale, et donc pour les jeux répétés. En transférant l'analyse de Adler, Karp et Shamir de la régle de pivotage dite du ``shadow-vertex'', nous obtenons le premier algorithme qui résoud les jeux répétés en temps polynomial en moyenne, en supposant que la distribution des jeux satisfait une propriété d'invariance. Nous établissons une correspondance géométrique entre les cellules d'un arrangement d'hyperplans classiques et leur tropicalisation. Ceci donne une interprétation géométrique à la tropicalisation de la méthode du simplexe. Comme dans le cas classique, l'algorithme tropical pivote sur le graphe d'un arrangement d'hyperplans associé au polyèdre. Ce point de vue géométrique nous permet d'établir des raffinements algorithmiques de l'opération de pivotage tropical. Nous présentons un algorithme qui pivote le long d'une arête d'un polyèdre tropical défini par $m$ inégalités en dimension $n$ en temps $O(n(m+n))$. Nous montrons aussi que le calcul des signes des coûts réduits peut se faire tropicalement en temps $O(n(m+n))$
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Dates and versions

tel-01198482 , version 1 (13-09-2015)

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  • HAL Id : tel-01198482 , version 1

Cite

Pascal Benchimol. Tropical aspects of linear programming. Optimization and Control [math.OC]. Ecole Polytechnique, 2014. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01198482⟩
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