Path dependent partial differential equation: theory and applications
Équation aux dérivées partielles dépendante de la trajectoire: théorie et appliquations
Résumé
In the previous works, Ekren, Keller, Touzi & Zhang [35] and Ekren, Touzi & Zhang [37, 38], the new notion of viscosity solutions to path dependent PDEs is introduced, and a wellposedness theory is proved by a ‘path-frozen’ argument. This new notion generalizes that of viscosity solutions to PDEs developed intensively in the years of 80’s and 90’s, and can be used to characterize the value function of non-Markovian stochastic control problem. In this thesis, we report the recent development of the new theory. We improve the argument for the comparison result, and provide a PDE-style Perron’s method for proving the existence of viscosity solutions to semi- linear path dependent PDEs. As in the seminar work of Barles and Souganidis [4] in the context of PDEs, we show that a family of numerical schemes satisfying the so- called monotonicity condition provides numerical solutions converging to viscosity solutions of fully nonlinear path dependent PDEs. Further, we develop a notion of elliptic path dependent PDEs, and provide a wellposedness theory by following the lines of arguments in [38]. This thesis also includes some interesting applications of path dependent PDEs. One of them is on the large deviations of non-Markovian dif- fusion. As Fleming used the stability of viscosity solutions of PDEs to establish the large deviation principle in Markovian case (see [51]), we use the theory of backward stochastic differential equations and that of path dependent PDEs to generalize his result for non-Markovian diffusions. Moreover, the large deviation result is applied to investigate the short maturity asymptotics of the implied volatility surface in financial mathematics. Finally, a study of dual algorithm for stochastic control pro- blems is presented. As Monte-Carlo simulations for the stochastic control problems provide low-biased estimate, a dual algorithm offer upper bounds of the true values. The idea of ‘path-frozen’ is exploited to give a dual representation of non-Markovian stochastic control problems.
Dans les travaux précédents, Ekren, Keller, Touzi & Zhang [35] et Ekren, Touzi & Zhang [37, 38], les auteurs ont introduit une notion de solutions de viscosité des EDPs dépendantes de la trajectoire (EDP-P) et ils ont montré des résultats d’unicité et d’existence par un argument appelé ‘trajectoire gelée’. Les solutions de viscosité des EDP-Ps généralisent les solutions de viscosité des EDPs, en particu- lier, elles peuvent être utilisées pour caractériser les fonctions valeur des problèmes de contrôle stochastique non-markovien. Dans cette thèse, nous présentons le dé- veloppement récent de la nouvelle théorie. Au cas des EDP-Ps semi-linéaires, nous améliorons l’argument pour le résultat de la comparaison et nous proposons une méthode de Perron pour prouver l’existence de solution de viscosité. En outre, comme dans le travail de Barles et Souganidis [4] dans le contexte d’EDP, nous montrons qu’une famille de schémas numériques satisfaisant les conditions de mo- notonie fournit les solutions numériques convergeant vers les solutions de viscosité des EDP-P’s. De plus, nous essayons de développer la notion des EDP-Ps elliptiques et nous arrivons à montrer les résultats d’unicité et d’existence en suivant les ar- guments dans [38]. Cette thèse contient aussi certaines applications intéressantes des EDP-Ps. L’une des application concerne les grandes déviations des diffusions non-markoviennes. Comme Fleming a utilisé la stabilité des solutions de viscosité des EDPs pour montrer le principe de grandes déviations dans le cas markovien (voir [51]), nous utilisons les équations différentielles stochastiques rétrogrades et les EDP-Ps pour généraliser son résultat au cas non-markovien. En plus, on ap- plique ce résultat de grandes déviations à l’étude du comportement asymptotique de la surface de volatilité implicite en mathématiques financières. Enfin, nous pré- sentons un algorithme dual pour des problèmes de contrôle stochastique. Lorsque les simulations de Monte Carlo des problèmes de contrôle stochastique fournissent des estimations biaisées inférieurement, l’algorithme dual donne des bornes supé- rieures des fonctions valeur. L’idée de ‘trajectoire gelée’ est utilisée pour donner des représentations duales des problèmes de contrôle stochastique non-markovien.
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